Álgebra linear Exemplos

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9} & 6 \\ \frac{1}{3} & 27 \end{array}] \cdot B = [\begin{array}{c} - 10 & 7 \\ - 48 & 30 \end{array}]$

Etapa 1

Encontre o inverso de $[\begin{array}{c} \frac{1}{9} & 6 \\ \frac{1}{3} & 27 \end{array}]$ .

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Etapa 1.1

O inverso de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado usando a fórmula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ onde $a d - b c$ é o determinante.

Etapa 1.2

Encontre o determinante.

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Etapa 1.2.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$\frac{1}{9} \cdot 27 - \frac{1}{3} \cdot 6$

Etapa 1.2.2

Simplifique o determinante.

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Etapa 1.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.2.1.1

Cancele o fator comum de $9$ .

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Etapa 1.2.2.1.1.1

Fatore $9$ de $27$ .

$\frac{1}{9} \cdot (9 (3)) - \frac{1}{3} \cdot 6$

Etapa 1.2.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{9} \cdot (9 \cdot 3) - \frac{1}{3} \cdot 6$

Etapa 1.2.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$3 - \frac{1}{3} \cdot 6$

Etapa 1.2.2.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 1.2.2.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{3}$ para o numerador.

$3 + \frac{- 1}{3} \cdot 6$

Etapa 1.2.2.1.2.2

Fatore $3$ de $6$ .

$3 + \frac{- 1}{3} \cdot (3 (2))$

Etapa 1.2.2.1.2.3

Cancele o fator comum.

$3 + \frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot 2)$

Etapa 1.2.2.1.2.4

Reescreva a expressão.

$3 - 1 \cdot 2$

Etapa 1.2.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$3 - 2$

Etapa 1.2.2.2

Subtraia $2$ de $3$ .

$1$

Etapa 1.3

Como o determinante é diferente de zero, o inverso existe.

Etapa 1.4

Substitua os valores conhecidos na fórmula para o inverso.

$\frac{1}{1} [\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}]$

Etapa 1.5

Divida $1$ por $1$ .

$1 [\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}]$

Etapa 1.6

Multiplique $1$ por cada elemento da matriz.

$[\begin{array}{c} 1 \cdot 27 & 1 \cdot - 6 \\ 1 (- \frac{1}{3}) & 1 (\frac{1}{9}) \end{array}]$

Etapa 1.7

Simplifique cada elemento da matriz.

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Etapa 1.7.1

Multiplique $27$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 27 & 1 \cdot - 6 \\ 1 (- \frac{1}{3}) & 1 (\frac{1}{9}) \end{array}]$

Etapa 1.7.2

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ 1 (- \frac{1}{3}) & 1 (\frac{1}{9}) \end{array}]$

Etapa 1.7.3

Multiplique $- \frac{1}{3}$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & 1 (\frac{1}{9}) \end{array}]$

Etapa 1.7.4

Multiplique $\frac{1}{9}$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}]$

Etapa 2

Multiplique os dois lados da equação por $[\begin{array}{c} \frac{1}{9} & 6 \\ \frac{1}{3} & 27 \end{array}]$ .

$[\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}] [\begin{array}{c} \frac{1}{9} & 6 \\ \frac{1}{3} & 27 \end{array}] B = [\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}] [\begin{array}{c} - 10 & 7 \\ - 48 & 30 \end{array}]$

Etapa 3

Simplifique a equação.

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Etapa 3.1

Multiplique $[\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}] [\begin{array}{c} \frac{1}{9} & 6 \\ \frac{1}{3} & 27 \end{array}]$ .

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Etapa 3.1.1

Duas matrizes podem ser multiplicadas se e somente se o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda matriz. Nesse caso, a primeira matriz é $2 \times 2$ e a segunda matriz é $2 \times 2$ .

Etapa 3.1.2

Multiplique cada linha na primeira matriz por cada coluna na segunda matriz.

$[\begin{array}{c} 27 (\frac{1}{9}) - 6 (\frac{1}{3}) & 27 \cdot 6 - 6 \cdot 27 \\ - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{9} + \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} \cdot 6 + \frac{1}{9} \cdot 27 \end{array}] B = [\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}] [\begin{array}{c} - 10 & 7 \\ - 48 & 30 \end{array}]$

Etapa 3.1.3

Simplifique cada elemento da matriz multiplicando todas as expressões.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] B = [\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}] [\begin{array}{c} - 10 & 7 \\ - 48 & 30 \end{array}]$

Etapa 3.2

Multiplicar a matriz identidade por qualquer matriz $A$ é a própria matriz $A$ .

$B = [\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}] [\begin{array}{c} - 10 & 7 \\ - 48 & 30 \end{array}]$

Etapa 3.3

Multiplique $[\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}] [\begin{array}{c} - 10 & 7 \\ - 48 & 30 \end{array}]$ .

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Etapa 3.3.1

Etapa 3.3.2

Multiplique cada linha na primeira matriz por cada coluna na segunda matriz.

$B = [\begin{array}{c} 27 \cdot - 10 - 6 \cdot - 48 & 27 \cdot 7 - 6 \cdot 30 \\ - \frac{1}{3} \cdot - 10 + \frac{1}{9} \cdot - 48 & - \frac{1}{3} \cdot 7 + \frac{1}{9} \cdot 30 \end{array}]$

Etapa 3.3.3

Simplifique cada elemento da matriz multiplicando todas as expressões.

$B = [\begin{array}{c} 18 & 9 \\ - 2 & 1 \end{array}]$